[infostudents] Re: Frage zu einer Aufgabe
- From: Brownie <braunma@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>
- To: infostudents@xxxxxxxxxxxxx
- Date: Sat, 22 Sep 2007 19:49:51 +0200
Ich hab deshalb gerade nochmal bei wiki geschaut, wie das mit zweielementigen
Erzeugern einer Gruppe funktioniert...
S4 ist die Menge aller Permutationen von [4] (Symmetrische Gruppe).
Hätte man nur ein Element a aus S4, wäre die davon erzeugte Gruppe {e,
e^2,...,e^(ord(a)-1) also alle Permutationen, die durch Verkettungen von a
erzeugt werden können.
Mit (1 2)(2 3) = (123) als Erzeuger ergäben sich damit 3 Elemente. Ordnung
sieht man, wenns in Zykelschreibweise dasteht ja sofort.
Nun ist der Erzeuger aber {(123),(12)}. Laut wiki ergibt sich die Gruppe dann
durch alle möglichen Produkte, die sich aus Elementen des Erzeugers bilden
lassen. Also id, (123), (123)^2, (12), (123)*(12), (123)^2*(12)
Schreibt man die Permutationen aus, sieht man, dass diese Verkettungen
tatsächlich alle eine unterschiedliche Permutation liefern. Die Untergruppe
hat also 6 Elemente.
Hier erhält man die Anzahl der Elemente in dem man die Ordnungen der Erzeuger
multipliziert. Gilt vermutlich aber im Allgemeinen unbedingt, in manchen
Fällen könnte man so vielleicht Permutationen doppelt zählen...
Gruß,
Manu
Am Samstag, 22. September 2007 schrieb Jendrik Seipp:
> Hallo Leute,
>
> hat jemand verstanden wie man Aufgabe 22 aus der Probeklausur 2006 rechnet?
>
> "Wie viele Elemente hat die von (1 2)(2 3) und (1 2) in S4 erzeugte
> Untergruppe?"
>
> Vielen Dank für alle Hinweise,
> Jendrik
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