Re: Hurtige neutrinoer som tachyoner ?
- From: Bjarne Thomsen <bjarne.thomsen@xxxxxxxxx>
- To: astrolist@xxxxxxxxxxxxx
- Date: Sat, 07 Jan 2012 21:51:14 +0100
Jeg vil her komme til det resultat at en meget omtal
partikel faktisk starter med at være en tachyon.
Den simpleste kvantemekaniske partikel har spin-0 og
hører derfor til klassen af bosoner, der har heltallig spin.
Den beskrives ved små svingninger i et skalart felt F(t,x)
omkring minimum eller maksimum af dens potentielle energi U(F).
Den kaldes derfor en skalar boson. Partiklen bevæger sig i
x-aksens retning, så F afhænger ikke af y og z.
Feltets energi er givet ved hamiltonfunktionen
H = ½[(Ft)² - (Fx)²] + U(F)
Ft er den partielle afledede mht t.
Fx er den partielle afledede mht x.
Man kan herfra udlede bølgeligningen for feltet:
Ftt - Fxx + U'(F) = 0
Ftt er den 2. partielle afledede mht t.
Fxx er den 2. partielle afledede mht x.
U'(F) er den 1. afledede af potentialet mht F.
Ligningen er helt generel; men en partikel beskrives som
små svingninger i F omkring et maximum eller minimum for U(F).
Dvs svingninger omkring F0, hvor U'(F0) = 0.
U(F) kan Taylor-udvikles omkring F0, da udsvingene er små.
U(F) = U(F0) + ½U''(F0)*(F - F0)², husk U'(F0) = 0.
U''(f) er den 2. afledede af U mht F.
Bølgeligningen for bosonen bliver derfor
Ftt - Fxx + U''(F0)*(F - F0) = 0
Nu kommer jeg endelig til partiklens masse,
der defineres ved massekvadratet m² = U''(F0).
Proceduren svarer til at approximere et fysisk
pendul med en harmonisk oscillator for små udsving.
m er oscillatorens vinkelfrekvens, hvis m² > 0.
m² > 0 svarer til et potentialminimum.
m² < 0 svarer til et potentialmaksimum.
Det svarer til at anbringe det fysiske benduls tyngdepunkt
lodret over omdrejningspunktet. Denne tilstand er ustabil
både for pendulet og skalarfeltet.
m måles i passende enheder: m = 2*Pi*m0*c²/h
m0 er partiklens hvilemasse, c er lyshastigheden
og h er Plancks konstant. Kendere vil bemærke at
h/m0*c² er Compton-bølgelængden, så man kan passende
kalde m for Compton-(vinkel)frekvensen.
m er helt bogstaveligt det skalare felts vinkelfrekvens
for en partikel i hvile.
Der er 2 tilfælde
(1) m² > 0
Indsættes F(t,x) = F0 + A*sin(w*t - k*x) i bølgeligningen
fås dispersionsrelationen: w² = m² + k²
Partiklens gruppehastighed V bliver
V² = (dw/dk)² = k²/(m² + k²) < 1
(2) m² = -r² < 0, hvor r er reel.
Indsættes for k² > r² det samme udtryk i bølgeligningen
fås dispersionsrelationen: w² = k² - r²
Partiklens gruppehastighed V bliver
V² = k²/(k² - r²) > 1, dvs en tachyon.
Men en bølgepakke indeholder mange plane bølger med
forslellige k-værdier. Det er helt umuligt at undgå
k² < r². Indsættes for dette tilfælde
F(t,x) = F0 + A*exp(w*t)*sin(k*x)
fås relationen w² = r² - k².
Dette viser at F vil bevæge sig eksponentielt væk fra
F0. Det skalare felt er ustabilt på samme måde som
det omvendte bendul er ustabilt.
Tachyonen vil derfor hurtigt henfalde til en
partikel i bunden af potentialet, som har en reel masse.
Kender man en skalar boson med spin-0?
Ja, det gør man, nemlig Higgs-partiklen!
Higgs-partiklens skalare felt er en complex funktion Z(t,x);
men Higgs-potentialet afhænger kun af normen, som jeg kalder
F = |Z|.
Potentialet kaldes en Mexican Hat, og det er givet ved
U(Z,F0) = (a/4)*(|Z|² - F0²)²
U har et lokalt maksimum i Z = 0 og et globalt
minimum i |Z| = F0, der danner en cirkel i den complexe plan.
U'(F) = a*(F² - F0²)*F
U''(F) = a*(3*F² - F0²)
Massen for potentialets ustabile maximum er
m² = U''(0) = -a*F0² < 0, altså en tachyon.
Massen for potentialets stabile maximum er
m² = U''(F0) = 2*a*F0² > 0
Altså: En tachyon med imaginær masse henfalder
hurtigt til en normal partikel med en reel masse.
Bjarne Thomsen
On 2012-01-05 17:03, Bjarne Thomsen wrote:
> Lad mig uddybe nedenstående.
>
> On 2011-12-11 12:36, Bjarne Thomsen wrote:
>> Hvordan kan man få en gruppegastighed større end 1?
>> Dette er muligt, hvis man på en eller anden måde
>> kan få en effektiv hvilemasse, som er imaginær, dvs så m² < 0.
>
> I den specielle relativitetsteori (med den største hastighed c=1)
> gælder at E² = p² + m² for en partikel med energi E, impuls p og
> hvilemasse m. En fri partikel beskrives i kvantemekanik ved en
> bølgefunktion af formen sin(w*t - k*x), hvis den bevæger sig i
> x-aksens retning. w er frekvensen og k er bølgetallet.
> E er proportional med w og p er proportional med k.
> En partikel er en bølgepakke, som bevæger sig med hastigheden
> V = dw/dk = dE/dp = p/E.
> Der er 3 tilfælde
> 1) m² > 0 => V < 1
> 2) m² = 0 => V = 1
> 3) m² < 0 => V > 1 (en tachyon)
>
> Men der er problemer med en tachyon, hvor massen er imaginær m = i*r.
> i er den imaginære enhed: i² = -1.
>
> Vi må se nærmere på bølgeligningen for en tachyons udbredelse.
> Kvantemekaniske partikler fremkommer ved kvantisering af et klassisk
> felt, dvs en funktion af tid og rum. Man kan derfor starte med at
> finde bølgeligningen for det simpleste felt, som man kan tænke sig,
> et skalart felt, som kun er en funktion af tid og x-koordinaten F(t,x).
>
> Lad os som et simpelt kendt eksempel starte med beskrivelsen af en
> partikel X(t), som bevæger sig langs x-aksen i et potential U(X).
> Kinetisk energi: (1/2)*(Xt)², hvor Xt betyder dX/dt.
> Potentiel energi: U(X).
> Man kan heraf udlede Newtons 2. lov: Xtt = -U'(X) = -dU/dX.
>
> Vi må definere den kinetiske og den potentielle energi for et
> skalart felt F(t,x) for at kunne udlede bevægelsesligningen for feltet.
> Formen må være ens i alle inertialsystemer, så vi kan ikke bare nøjes
> med den tidsafledede, t og x blandes ved en lorentztransformation.
> Kinetisk energi: (1/2)*[(Ft)² - (Fx)²]
> Potentiel energi: U(F) er en funktion af feltets styrke.
>
> Man kan nu finde bevægelsesligningen for feltet F(t,x):
>
> Ftt - Fxx = -U'(F) = -dU/dF
>
> Det simpleste potential, som man kan forestille sig, er en
> harmonisk oscillator: U(F) = (1/2)*a*F², hvor
> U'(F) = a*F og U''(F) = a.
>
> Ligningen for feltet får i dette tilfælde formen
>
> Ftt - Fxx + a*F = 0
> Den kaldes Klein-Gordon ligningen.
> Den har løsningen (hvis a > 0):
> F(t,x) = sin(w*t - k*x), hvis
>
> w² = k² + a
>
> Den kan sammenlignes med
> E² = p² + m²
>
> Dette betyder at a = m² i passende enheder.
> Mere herom senere.
> Opgave: Hvad sker der, hvis a < 0 ?
>
> Bjarne Thomsen
>
>
>
Other related posts:
