Hurtige neutrinoer som tachyoner ?
- From: Bjarne Thomsen <bjarne.thomsen@xxxxxxxxx>
- To: astrolist@xxxxxxxxxxxxx
- Date: Thu, 05 Jan 2012 17:03:01 +0100
Lad mig uddybe nedenstående.
On 2011-12-11 12:36, Bjarne Thomsen wrote:
> Hvordan kan man få en gruppegastighed større end 1?
> Dette er muligt, hvis man på en eller anden måde
> kan få en effektiv hvilemasse, som er imaginær, dvs så m² < 0.
I den specielle relativitetsteori (med den største hastighed c=1)
gælder at E² = p² + m² for en partikel med energi E, impuls p og
hvilemasse m. En fri partikel beskrives i kvantemekanik ved en
bølgefunktion af formen sin(w*t - k*x), hvis den bevæger sig i
x-aksens retning. w er frekvensen og k er bølgetallet.
E er proportional med w og p er proportional med k.
En partikel er en bølgepakke, som bevæger sig med hastigheden
V = dw/dk = dE/dp = p/E.
Der er 3 tilfælde
1) m² > 0 => V < 1
2) m² = 0 => V = 1
3) m² < 0 => V > 1 (en tachyon)
Men der er problemer med en tachyon, hvor massen er imaginær m = i*r.
i er den imaginære enhed: i² = -1.
Vi må se nærmere på bølgeligningen for en tachyons udbredelse.
Kvantemekaniske partikler fremkommer ved kvantisering af et klassisk
felt, dvs en funktion af tid og rum. Man kan derfor starte med at
finde bølgeligningen for det simpleste felt, som man kan tænke sig,
et skalart felt, som kun er en funktion af tid og x-koordinaten F(t,x).
Lad os som et simpelt kendt eksempel starte med beskrivelsen af en
partikel X(t), som bevæger sig langs x-aksen i et potential U(X).
Kinetisk energi: (1/2)*(Xt)², hvor Xt betyder dX/dt.
Potentiel energi: U(X).
Man kan heraf udlede Newtons 2. lov: Xtt = -U'(X) = -dU/dX.
Vi må definere den kinetiske og den potentielle energi for et
skalart felt F(t,x) for at kunne udlede bevægelsesligningen for feltet.
Formen må være ens i alle inertialsystemer, så vi kan ikke bare nøjes
med den tidsafledede, t og x blandes ved en lorentztransformation.
Kinetisk energi: (1/2)*[(Ft)² - (Fx)²]
Potentiel energi: U(F) er en funktion af feltets styrke.
Man kan nu finde bevægelsesligningen for feltet F(t,x):
Ftt - Fxx = -U'(F) = -dU/dF
Det simpleste potential, som man kan forestille sig, er en
harmonisk oscillator: U(F) = (1/2)*a*F², hvor
U'(F) = a*F og U''(F) = a.
Ligningen for feltet får i dette tilfælde formen
Ftt - Fxx + a*F = 0
Den kaldes Klein-Gordon ligningen.
Den har løsningen (hvis a > 0):
F(t,x) = sin(w*t - k*x), hvis
w² = k² + a
Den kan sammenlignes med
E² = p² + m²
Dette betyder at a = m² i passende enheder.
Mere herom senere.
Opgave: Hvad sker der, hvis a < 0 ?
Bjarne Thomsen
Other related posts:
