[infostudents] 4b von mir

  • From: Alexander Nutz <alex_nutz@xxxxxx>
  • To: infostudents@xxxxxxxxxxxxx
  • Date: Tue, 03 Jul 2007 17:30:08 +0200

Hi, im Anhang meine 4b - wenn ihr denkt, dass es nicht stimmt, sagt Bescheid

cu
alex
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%% Do not edit unless you really know what you are doing.
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\makeatletter

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
%% Bold symbol macro for standard LaTeX users
\providecommand{\boldsymbol}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.





% zus�zliche mathematische Symbole, AMS=American Mathematical Society 


% frs Einbinden von Graphiken


% fr Namen etc. in Kopf- oder Fu�eile
\usepackage{fancyhdr}


% erlaubt benutzerdefinierte Kopfzeilen 


% Definition der Kopfzeile
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\begin{tabular}{ll}
Patrick Hornecker \\
Alexander Nutz 
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}
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\rhead{\today{}}
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\cfoot{Seite \thepage}
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\begin{document}
DAS \"Ubungsblatt 10

Aufgabe 4 b)

zu zeigen: $(k[X])^{*}=k^{*}$

1.) $(k[X])^{*}\supseteq k^{*}$

Das ist wahr, da alle Elemente aus $k^{*}$ als Polynome vom Grad
$0$ aufgefasst werden k\" onnen.

2.) $(k[X])^{*}\subseteq k^{*}$ 

$\Rightarrow\nexists p\in(k[X])^{*}:p\notin k^{*}$mit $deg(p)>0$ 

Gegenbehauptung: $\exists p\in(k[X])^{*}:p\notin k^{*}$ mit 
$p(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{0}x^{0}$
, $deg(p)=n>0$

$\Rightarrow\exists p,p^{-1}\in(k[X])^{*}:p\cdot p^{-1}=1$

$\Rightarrow p^{-1}=\frac{1}{p}=\frac{1}{a_{n}x^{n}+...+a_{0}x^{0}}$
- das ist ein Widerspruch dazu, das $p^{-1}\in(k[X])^{*}$ ist, da
mitdestens ein $x$ (mit Exponent gr\" o"ser 0) im Nenner steht.

Somit stimmen die Behauptungen 1.) und 2.) und die Ausgangsbehauptung
stimmt auch.
\end{document}

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