Re: Beregning af magnitude

  • From: Frank Sørensen <astronom@xxxxxxxxxx>
  • To: astrolist@xxxxxxxxxxxxx
  • Date: Fri, 16 Sep 2011 20:41:09 +0200

Ja undskyld den lange mail, men hvis man skal have alle detaljerne med, 
tja - så skal man jo have alle detaljerne med.

Måske ses vi til starparty? Så vil jeg da gerne forsøge at forklare, 
hvis der er enkelte punkter der er lidt aehm... uklare ;-)

- Frank

Den 16-09-2011 20:33, Torben Taustrup skrev:
> Hej Frank
>
> Tak for den forklaring - som jeg vist skal bruge mere en fem
> minutter til at læse - og endnu længere tid på at forstå ;)
>
> Det var ikke sådan, at du kunne tænke dig at udgive denne
> forklaring i en Pixiebog?
>
> mvh
> Torben
>
> PS! Jeg var lige ved at tro, at det var en forklaring fra
> Mogens ;)
>
>
>
> ----- Original Message -----
> From: "Frank Sørensen"<astronom@xxxxxxxxxx>
> To:<astrolist@xxxxxxxxxxxxx>
> Sent: Friday, September 16, 2011 2:56 PM
> Subject: Re: Beregning af magnitude
>
>
>> Den 14-09-2011 20:10, Torben Taustrup skrev:
>>> Hej folkens
>>>
>>> Det er jo ikke fordi der har været meget skriveri om den
>>> mest interessante supernova på den nordlige himmel de
>>> sidste
>>> mange år. Den står som bekendt under kernen af M-101, og
>>> den
>>> blev opdaget d. 24. august - SN 2011 FE. På
>>> opdagelsestidspunktet var den omkring 17. magnitude, og
>>> lige
>>> nu ligger den omkring 10..
>>> Vi blev i starten af måneden kontaktet af en astronom,
>>> som
>>> opfordrede os til at lave optagelser af supernovaen -
>>> bl.a.
>>> fordi den nuværende nordlige position på himlen ikke er
>>> gunstig for de mere sydligt placerede professionelle
>>> observatorier.
>>> Vi har nu været ude fire gange, d. 1., 3., 8. og 13
>>> september.
>>> Jeg har forsøgt at få AstroArt til at lave en fotometrisk
>>> beregning på supernovaens styrke, men er hver gang kommet
>>> frem til en magnitude, der ligger omkring een magnitude
>>> svagere end de officielle opgivelser, altså ca. 11 i
>>> stedet
>>> for 10.
>>> Jeg har så været ved at undersøge, om der er noget galt
>>> med
>>> materialet. Målingerne baserer sig på luminansen, og i
>>> programmet skal man så markere mindst fem stjerner som
>>> reference. Alle deres magnitudes er helt i
>>> overensstemmelse
>>> med værdierne i Guide 8.
>>> Nu kunne det så være interessant at vide lidt om, hvordan
>>> programmet egentlig foretager beregningen.
>>> Et step i magnitude svarer jo til ca. 2,5 gange. En
>>> kraftigere stjerne dækker flere pixels på CCD'en, så
>>> spørgsmålet er, om programmet blot tæller værdierne på de
>>> belyste pixels sammen - groft sagt?
>>> Hvis den beskrevne metode anvendes, så er det vel
>>> vigtigt,
>>> at pixels ikke er gået i mætning?
>>>
>>> Her er vores første tre optagelser:
>>>
>>> http://tocobs.org/12prem/images/Lmag_1.jpg
>>>
>>> http://tocobs.org/12prem/images/Lmag_3.jpg
>>>
>>> http://tocobs.org/12prem/images/Lmag_8.jpg
>>>
>>> mvh
>>> Torben
>>>
>>> Torben Taustrup
>>> TOC Observatory homepage
>>> http://tocobs.org
>>> "Just do it"
>>>
>> Hej Torben,
>>
>> Jeg vil prøve at beskrive fremgangsmåden, når man vil
>> beregne magnituden
>> af en stjerne på et billede ud fra nogle omkringliggende
>> kendte stjerner.
>>
>> Ideen er så at man måler de kendte stjerner, og ud fra dem
>> laver en
>> matematisk funktion, som man kan bruge som "lineal" til at
>> måle alle
>> andre stjerner med, hvis man har lyst.
>>
>> Det er smartest/nemmest at måle stjernerne med en "lige"
>> lineal, dvs.
>> lineær. Som du selv er inde på, er magnituden en
>> logaritmisk skala, og
>> for at gøre den lineær, skal vi derfor bruge
>> eksponentialfunktionen,
>> eller faktisk eksponentialfunktionen på minus M for at
>> finde et udtryk
>> for fluxen, eller hvor mange fotoner vi får fra stjernen
>> pr. tidsenhed.
>>
>> Hvis stjernens magnitude er M, så er fluxen F proportional
>> med exp(-M)
>> (grunden til minus'et er jo større M jo mindre flux).
>> "Proportional"
>> betyder at der er en faktor K ganget på fluxen. Godt nok
>> kender vi ikke
>> K, men K er til god tilnærmelse den samme for alle
>> stjernerne, hvis de
>> ligger på samme billede, og instrument (teleskop + CCD
>> chip osv.) har
>> den samme respons over hele feltet, hvilket jo heldigvis
>> (som regel) er
>> tilfældet.
>>
>> Desuden er der et ukendt bidrag fra himmelbaggrund,
>> lysforurening osv,
>> som vi kalder B:
>>
>> Hvis vi siger at fotonerne fra en stjerne måles ved at
>> tælle
>> pixelværdier fra et lille område på billedet (en firkant
>> eller en
>> cirkel), så må det jo være sådan (i princippet) at hvis
>> man tæller
>> fotoner fra alle stjerner på samme måde, så må
>> baggrundsbidraget være
>> cirka det samme for alle stjernerne - hvis de ligger på
>> samme billede
>> selvfølgelig.
>>
>> Nu bliver vi lidt matematiske, og skriver en funktion for
>> vores flux F:
>>
>> (1) F = K*exp(-M) - B
>>
>> F er ikke den rigtige fysiske flux som i energi pr areal
>> pr sekund, men
>> F er proportional med den rigtige flux, og det er det
>> eneste vi har brug
>> for, så derfor vælger jeg at blive ved med at kalde den
>> for fluxen.
>>
>> Husk: K en faktor, som vi ikke kender, men som vi ved er
>> den samme for
>> alle stjerner. B er summen af baggrundsværdierne i
>> tællingen, som vi
>> heller ikke kender, men som vi også ved er den samme for
>> alle stjerner.
>>
>>
>> Hvis vi skal måle en stjerne på et billede er den eneste
>> måde vi kan
>> gøre det på, at lægge alle pixelværdier inden for det
>> lille område
>> sammen. Den værdi kalder vi for C (for count).
>>
>> Sammenhængen mellem fluxen F og C er at C er summen af
>> flux og
>> baggrundsfotoner fra billedet:
>>
>> (2) C = F + B som er ensbetydende med at F = C - B
>>
>> Hvis vi kombinerer (1) og (2) kan vi se at:
>>
>> (3) C = K*exp(-M)
>>
>> Så langt så godt!
>>
>> Nu er vi klar til at bruge et smart trick:
>>
>> Hvis vi nu måler en kendt stjerne med magnituden T (for
>> tabelværdi) med
>> denne teknik, så ved vi at det må gælde at
>>
>> (4) K*exp(-T) = K*exp(-M) - B eller rettere
>>      K*exp(-T) = C - B
>>
>> Det betyder også at:
>>
>> (5) exp(-T) = (C - B ) / K eller
>>      exp(-T) = C/K - B/K eller
>>
>> fordi vi kan justere K og B så det passer.
>>
>> Hvis vi nu har mange tabelværdier (T1, T2, T3 ... Tn) og
>> mange
>> tilhørende tællinger på billedet (C1, C2, C3 ... Cn), så
>> kan vi for den
>> i'te tabelværdi/tælling skrive:
>>
>> (6) exp(-Ti) = Ci/K - B/K
>>
>> Hvis man laver et koordinatsystem med C på X-aksen, og
>> exp(-Ti) på
>> Y-aksen, så vil en tælling Ci og exp(-Ti)
>> (eksponentialfunctionen taget
>> på minus den tilhørende tabelværdi Ti) selvfølgelig kunne
>> plottes som et
>> punkt i dette koordinatsystem.
>>
>> Der er en lineær sammenhæng mellem exp(-Ti) og C. Det
>> betyder at hvis
>> man plotter alle de kendte stjerner i dette
>> koordinatsystem, så vil
>> prikkerne ligge på en (næsten) ret linie. En ret linie i
>> et XY
>> koordinatsystem er givet ved
>>
>> (7) Y = a*X + b
>>
>> Nu er det så smart, at der findes en matematisk funktion
>> som hedder
>> lineær regression, som kan tage en masse X'er og
>> tilhørende Y'er og
>> finde et a og et b i denne ligning, som angiver den bedste
>> rette linie
>> igennem alle punkterne.
>> Se Wikipedia:
>> http://da.wikipedia.org/wiki/Regressionsanalyse den
>> engelske er dog bedre efter min mening:
>> http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_linear_regression her
>> hedder a og b
>> bare alfa og beta.
>>
>> Lineær regression er i øvrigt standardfunktioner i
>> regnearksprogrammer
>> som Libre Office Calc og MS Excel.
>>
>> Nå - Denne lineære regression kaster vi efter vores
>> målinger og
>> tabelværdier, hvor vi kalder X'erne og Y'erne (for den
>> i'te måling):
>>
>> (8) Xi = Ci og
>>      Yi = exp(-Ti)
>>
>> Læg mærke til at K og B automatisk bliver regnet ind i a
>> og b, da de jo
>> altid er ens for alle stjerner, dvs vi behøver aldrig (før
>> eller siden)
>> at bekymre os særlig meget om dem.
>>
>> Altså: Alle tabelværdier regnes om til exp(-T) (Y) og alle
>> tilhørende
>> optællinger af opsummerede pixelværdier i samme størrelse
>> vindue for C (X)
>>
>> Så propper vi hele molevitten ind i en lineær regression.
>>
>> Det vil sige at vi nu næsten har vores lineal klar i form
>> af a og b, som
>> vi får tilbage fra regressionsfunktionen:
>>
>> Hvis vi har en stjerne, hvor vi tæller C pixelværdier i
>> det lille
>> målevindue, så kan vi MEGET nemt regne magnituden ud
>> fordi:
>>
>> (9) exp(-M) = a*C + b fra (5), hvilket betyder at
>>      -M = ln(a*C + b) og dermed at
>>      M = - ln(a*C + b)
>>      ================
>>
>> Slut prut finale! Thats it!
>>
>> Her er ln() selvfølgelig den naturlige logaritme - den
>> omvendte til
>> eksponentialfunktionen exp()
>>
>> Man skal selvfølgelig være omhyggelig med at sit data. For
>> eksempel kan
>> det som du selv er inde på selvfølgelig ikke nytte at
>> tælle pixelværdier
>> på stjerner der "kridter". Det betyder jo netop at nogle
>> af værdierne er
>> klippet af ved en eller anden max-værdi. Man kan heller
>> ikke bruge
>> metoden på billeder, hvor der er justeret på lysstyrke
>> eller kontrast
>> med nogen som helst form for ikke-lineær lysstyrke- eller
>> kontrastfunktion. Det betyder at man vil bruge en ret
>> lineal på en buet
>> linie, og det kan kun gå ilde.
>>
>> Hvordan kan det være at vi kan glemme alt om K og B i
>> ligningerne?
>> B er et udtryk for alt hvad der kan tilføje et konstant
>> bidrag til vores
>> tællinger. For eksempel lysforurening, himmelbaggrunden,
>> bias i
>> fortolkningen af værdierne fra CCD-chippen osv.
>> K er et udtryk for alt hvad der har noget med hvor
>> effektivt vores
>> instrument er til at samle fotoner fra stjernerne. For
>> eksempel
>> teleskopets åbning, optikkens effektivitet, CCD'ens
>> kvanteeffektivitet,
>> forstærkerens gain, himlens transparens osv.
>> Fidusen er at alle målinger og fastlæggelse af skala
>> ("linealen" eller a
>> og b i ligningerne herover) foretages på et og samme
>> billede. Det vil
>> sige at K og B (eller a og b) er ens for ALLE stjerner.
>> Dette er
>> selvfølgelig ideelt set, men meget tæt på at passe i
>> virkeligheden.
>>
>> Jeg håber at jeg fik vendt alle fortegn rigtigt...
>>
>> Mange hilsener
>>
>> - Frank
>>

-- 
------------------------------------------------------------------------
Frank Sørensen
Laurvigsgade 21
8200 Århus N
Telefon: 2021 2541


-- 
Frank Sørensen 56°10'45"E 10°11'28"N
------------------------------------------------------------------------

Other related posts: