Re: Beregning af magnitude
- From: "Torben Taustrup" <ttau@xxxxxxxxxx>
- To: <astrolist@xxxxxxxxxxxxx>
- Date: Fri, 16 Sep 2011 20:33:40 +0200
Hej Frank
Tak for den forklaring - som jeg vist skal bruge mere en fem
minutter til at læse - og endnu længere tid på at forstå ;)
Det var ikke sådan, at du kunne tænke dig at udgive denne
forklaring i en Pixiebog?
mvh
Torben
PS! Jeg var lige ved at tro, at det var en forklaring fra
Mogens ;)
----- Original Message -----
From: "Frank Sørensen" <astronom@xxxxxxxxxx>
To: <astrolist@xxxxxxxxxxxxx>
Sent: Friday, September 16, 2011 2:56 PM
Subject: Re: Beregning af magnitude
>
> Den 14-09-2011 20:10, Torben Taustrup skrev:
>> Hej folkens
>>
>> Det er jo ikke fordi der har været meget skriveri om den
>> mest interessante supernova på den nordlige himmel de
>> sidste
>> mange år. Den står som bekendt under kernen af M-101, og
>> den
>> blev opdaget d. 24. august - SN 2011 FE. På
>> opdagelsestidspunktet var den omkring 17. magnitude, og
>> lige
>> nu ligger den omkring 10..
>> Vi blev i starten af måneden kontaktet af en astronom,
>> som
>> opfordrede os til at lave optagelser af supernovaen -
>> bl.a.
>> fordi den nuværende nordlige position på himlen ikke er
>> gunstig for de mere sydligt placerede professionelle
>> observatorier.
>> Vi har nu været ude fire gange, d. 1., 3., 8. og 13
>> september.
>> Jeg har forsøgt at få AstroArt til at lave en fotometrisk
>> beregning på supernovaens styrke, men er hver gang kommet
>> frem til en magnitude, der ligger omkring een magnitude
>> svagere end de officielle opgivelser, altså ca. 11 i
>> stedet
>> for 10.
>> Jeg har så været ved at undersøge, om der er noget galt
>> med
>> materialet. Målingerne baserer sig på luminansen, og i
>> programmet skal man så markere mindst fem stjerner som
>> reference. Alle deres magnitudes er helt i
>> overensstemmelse
>> med værdierne i Guide 8.
>> Nu kunne det så være interessant at vide lidt om, hvordan
>> programmet egentlig foretager beregningen.
>> Et step i magnitude svarer jo til ca. 2,5 gange. En
>> kraftigere stjerne dækker flere pixels på CCD'en, så
>> spørgsmålet er, om programmet blot tæller værdierne på de
>> belyste pixels sammen - groft sagt?
>> Hvis den beskrevne metode anvendes, så er det vel
>> vigtigt,
>> at pixels ikke er gået i mætning?
>>
>> Her er vores første tre optagelser:
>>
>> http://tocobs.org/12prem/images/Lmag_1.jpg
>>
>> http://tocobs.org/12prem/images/Lmag_3.jpg
>>
>> http://tocobs.org/12prem/images/Lmag_8.jpg
>>
>> mvh
>> Torben
>>
>> Torben Taustrup
>> TOC Observatory homepage
>> http://tocobs.org
>> "Just do it"
>>
>
> Hej Torben,
>
> Jeg vil prøve at beskrive fremgangsmåden, når man vil
> beregne magnituden
> af en stjerne på et billede ud fra nogle omkringliggende
> kendte stjerner.
>
> Ideen er så at man måler de kendte stjerner, og ud fra dem
> laver en
> matematisk funktion, som man kan bruge som "lineal" til at
> måle alle
> andre stjerner med, hvis man har lyst.
>
> Det er smartest/nemmest at måle stjernerne med en "lige"
> lineal, dvs.
> lineær. Som du selv er inde på, er magnituden en
> logaritmisk skala, og
> for at gøre den lineær, skal vi derfor bruge
> eksponentialfunktionen,
> eller faktisk eksponentialfunktionen på minus M for at
> finde et udtryk
> for fluxen, eller hvor mange fotoner vi får fra stjernen
> pr. tidsenhed.
>
> Hvis stjernens magnitude er M, så er fluxen F proportional
> med exp(-M)
> (grunden til minus'et er jo større M jo mindre flux).
> "Proportional"
> betyder at der er en faktor K ganget på fluxen. Godt nok
> kender vi ikke
> K, men K er til god tilnærmelse den samme for alle
> stjernerne, hvis de
> ligger på samme billede, og instrument (teleskop + CCD
> chip osv.) har
> den samme respons over hele feltet, hvilket jo heldigvis
> (som regel) er
> tilfældet.
>
> Desuden er der et ukendt bidrag fra himmelbaggrund,
> lysforurening osv,
> som vi kalder B:
>
> Hvis vi siger at fotonerne fra en stjerne måles ved at
> tælle
> pixelværdier fra et lille område på billedet (en firkant
> eller en
> cirkel), så må det jo være sådan (i princippet) at hvis
> man tæller
> fotoner fra alle stjerner på samme måde, så må
> baggrundsbidraget være
> cirka det samme for alle stjernerne - hvis de ligger på
> samme billede
> selvfølgelig.
>
> Nu bliver vi lidt matematiske, og skriver en funktion for
> vores flux F:
>
> (1) F = K*exp(-M) - B
>
> F er ikke den rigtige fysiske flux som i energi pr areal
> pr sekund, men
> F er proportional med den rigtige flux, og det er det
> eneste vi har brug
> for, så derfor vælger jeg at blive ved med at kalde den
> for fluxen.
>
> Husk: K en faktor, som vi ikke kender, men som vi ved er
> den samme for
> alle stjerner. B er summen af baggrundsværdierne i
> tællingen, som vi
> heller ikke kender, men som vi også ved er den samme for
> alle stjerner.
>
>
> Hvis vi skal måle en stjerne på et billede er den eneste
> måde vi kan
> gøre det på, at lægge alle pixelværdier inden for det
> lille område
> sammen. Den værdi kalder vi for C (for count).
>
> Sammenhængen mellem fluxen F og C er at C er summen af
> flux og
> baggrundsfotoner fra billedet:
>
> (2) C = F + B som er ensbetydende med at F = C - B
>
> Hvis vi kombinerer (1) og (2) kan vi se at:
>
> (3) C = K*exp(-M)
>
> Så langt så godt!
>
> Nu er vi klar til at bruge et smart trick:
>
> Hvis vi nu måler en kendt stjerne med magnituden T (for
> tabelværdi) med
> denne teknik, så ved vi at det må gælde at
>
> (4) K*exp(-T) = K*exp(-M) - B eller rettere
> K*exp(-T) = C - B
>
> Det betyder også at:
>
> (5) exp(-T) = (C - B ) / K eller
> exp(-T) = C/K - B/K eller
>
> fordi vi kan justere K og B så det passer.
>
> Hvis vi nu har mange tabelværdier (T1, T2, T3 ... Tn) og
> mange
> tilhørende tællinger på billedet (C1, C2, C3 ... Cn), så
> kan vi for den
> i'te tabelværdi/tælling skrive:
>
> (6) exp(-Ti) = Ci/K - B/K
>
> Hvis man laver et koordinatsystem med C på X-aksen, og
> exp(-Ti) på
> Y-aksen, så vil en tælling Ci og exp(-Ti)
> (eksponentialfunctionen taget
> på minus den tilhørende tabelværdi Ti) selvfølgelig kunne
> plottes som et
> punkt i dette koordinatsystem.
>
> Der er en lineær sammenhæng mellem exp(-Ti) og C. Det
> betyder at hvis
> man plotter alle de kendte stjerner i dette
> koordinatsystem, så vil
> prikkerne ligge på en (næsten) ret linie. En ret linie i
> et XY
> koordinatsystem er givet ved
>
> (7) Y = a*X + b
>
> Nu er det så smart, at der findes en matematisk funktion
> som hedder
> lineær regression, som kan tage en masse X'er og
> tilhørende Y'er og
> finde et a og et b i denne ligning, som angiver den bedste
> rette linie
> igennem alle punkterne.
> Se Wikipedia:
> http://da.wikipedia.org/wiki/Regressionsanalyse den
> engelske er dog bedre efter min mening:
> http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_linear_regression her
> hedder a og b
> bare alfa og beta.
>
> Lineær regression er i øvrigt standardfunktioner i
> regnearksprogrammer
> som Libre Office Calc og MS Excel.
>
> Nå - Denne lineære regression kaster vi efter vores
> målinger og
> tabelværdier, hvor vi kalder X'erne og Y'erne (for den
> i'te måling):
>
> (8) Xi = Ci og
> Yi = exp(-Ti)
>
> Læg mærke til at K og B automatisk bliver regnet ind i a
> og b, da de jo
> altid er ens for alle stjerner, dvs vi behøver aldrig (før
> eller siden)
> at bekymre os særlig meget om dem.
>
> Altså: Alle tabelværdier regnes om til exp(-T) (Y) og alle
> tilhørende
> optællinger af opsummerede pixelværdier i samme størrelse
> vindue for C (X)
>
> Så propper vi hele molevitten ind i en lineær regression.
>
> Det vil sige at vi nu næsten har vores lineal klar i form
> af a og b, som
> vi får tilbage fra regressionsfunktionen:
>
> Hvis vi har en stjerne, hvor vi tæller C pixelværdier i
> det lille
> målevindue, så kan vi MEGET nemt regne magnituden ud
> fordi:
>
> (9) exp(-M) = a*C + b fra (5), hvilket betyder at
> -M = ln(a*C + b) og dermed at
> M = - ln(a*C + b)
> ================
>
> Slut prut finale! Thats it!
>
> Her er ln() selvfølgelig den naturlige logaritme - den
> omvendte til
> eksponentialfunktionen exp()
>
> Man skal selvfølgelig være omhyggelig med at sit data. For
> eksempel kan
> det som du selv er inde på selvfølgelig ikke nytte at
> tælle pixelværdier
> på stjerner der "kridter". Det betyder jo netop at nogle
> af værdierne er
> klippet af ved en eller anden max-værdi. Man kan heller
> ikke bruge
> metoden på billeder, hvor der er justeret på lysstyrke
> eller kontrast
> med nogen som helst form for ikke-lineær lysstyrke- eller
> kontrastfunktion. Det betyder at man vil bruge en ret
> lineal på en buet
> linie, og det kan kun gå ilde.
>
> Hvordan kan det være at vi kan glemme alt om K og B i
> ligningerne?
> B er et udtryk for alt hvad der kan tilføje et konstant
> bidrag til vores
> tællinger. For eksempel lysforurening, himmelbaggrunden,
> bias i
> fortolkningen af værdierne fra CCD-chippen osv.
> K er et udtryk for alt hvad der har noget med hvor
> effektivt vores
> instrument er til at samle fotoner fra stjernerne. For
> eksempel
> teleskopets åbning, optikkens effektivitet, CCD'ens
> kvanteeffektivitet,
> forstærkerens gain, himlens transparens osv.
> Fidusen er at alle målinger og fastlæggelse af skala
> ("linealen" eller a
> og b i ligningerne herover) foretages på et og samme
> billede. Det vil
> sige at K og B (eller a og b) er ens for ALLE stjerner.
> Dette er
> selvfølgelig ideelt set, men meget tæt på at passe i
> virkeligheden.
>
> Jeg håber at jeg fik vendt alle fortegn rigtigt...
>
> Mange hilsener
>
> - Frank
>
Other related posts:
