Re: Beregning af magnitude

  • From: Frank Sørensen <astronom@xxxxxxxxxx>
  • To: <astrolist@xxxxxxxxxxxxx>
  • Date: Fri, 16 Sep 2011 14:56:37 +0200

Den 14-09-2011 20:10, Torben Taustrup skrev:
> Hej folkens
>
> Det er jo ikke fordi der har været meget skriveri om den
> mest interessante supernova på den nordlige himmel de sidste
> mange år. Den står som bekendt under kernen af M-101, og den
> blev opdaget d. 24. august - SN 2011 FE. På
> opdagelsestidspunktet var den omkring 17. magnitude, og lige
> nu ligger den omkring 10..
> Vi blev i starten af måneden kontaktet af en astronom, som
> opfordrede os til at lave optagelser af supernovaen - bl.a.
> fordi den nuværende nordlige position på himlen ikke er
> gunstig for de mere sydligt placerede professionelle
> observatorier.
> Vi har nu været ude fire gange, d. 1., 3., 8. og 13
> september.
> Jeg har forsøgt at få AstroArt til at lave en fotometrisk
> beregning på supernovaens styrke, men er hver gang kommet
> frem til en magnitude, der ligger omkring een magnitude
> svagere end de officielle opgivelser, altså ca. 11 i stedet
> for 10.
> Jeg har så været ved at undersøge, om der er noget galt med
> materialet. Målingerne baserer sig på luminansen, og i
> programmet skal man så markere mindst fem stjerner som
> reference. Alle deres magnitudes er helt i overensstemmelse
> med værdierne i Guide 8.
> Nu kunne det så være interessant at vide lidt om, hvordan
> programmet egentlig foretager beregningen.
> Et step i magnitude svarer jo til ca. 2,5 gange. En
> kraftigere stjerne dækker flere pixels på CCD'en, så
> spørgsmålet er, om programmet blot tæller værdierne på de
> belyste pixels sammen - groft sagt?
> Hvis den beskrevne metode anvendes, så er det vel vigtigt,
> at pixels ikke er gået i mætning?
>
> Her er vores første tre optagelser:
>
> http://tocobs.org/12prem/images/Lmag_1.jpg
>
> http://tocobs.org/12prem/images/Lmag_3.jpg
>
> http://tocobs.org/12prem/images/Lmag_8.jpg
>
> mvh
> Torben
>
> Torben Taustrup
> TOC Observatory homepage
> http://tocobs.org
> "Just do it"
>

Hej Torben,

Jeg vil prøve at beskrive fremgangsmåden, når man vil beregne magnituden 
af en stjerne på et billede ud fra nogle omkringliggende kendte stjerner.

Ideen er så at man måler de kendte stjerner, og ud fra dem laver en 
matematisk funktion, som man kan bruge som "lineal" til at måle alle 
andre stjerner med, hvis man har lyst.

Det er smartest/nemmest at måle stjernerne med en "lige" lineal, dvs. 
lineær. Som du selv er inde på, er magnituden en logaritmisk skala, og 
for at gøre den lineær, skal vi derfor bruge eksponentialfunktionen, 
eller faktisk eksponentialfunktionen på minus M for at finde et udtryk 
for fluxen, eller hvor mange fotoner vi får fra stjernen pr. tidsenhed.

Hvis stjernens magnitude er M, så er fluxen F proportional med exp(-M) 
(grunden til minus'et er jo større M jo mindre flux). "Proportional" 
betyder at der er en faktor K ganget på fluxen. Godt nok kender vi ikke 
K, men K er til god tilnærmelse den samme for alle stjernerne, hvis de 
ligger på samme billede, og instrument (teleskop + CCD chip osv.) har 
den samme respons over hele feltet, hvilket jo heldigvis (som regel) er 
tilfældet.

Desuden er der et ukendt bidrag fra himmelbaggrund, lysforurening osv, 
som vi kalder B:

Hvis vi siger at fotonerne fra en stjerne måles ved at tælle 
pixelværdier fra et lille område på billedet (en firkant eller en 
cirkel), så må det jo være sådan (i princippet) at hvis man tæller 
fotoner fra alle stjerner på samme måde, så må baggrundsbidraget være 
cirka det samme for alle stjernerne - hvis de ligger på samme billede 
selvfølgelig.

Nu bliver vi lidt matematiske, og skriver en funktion for vores flux F:

(1) F = K*exp(-M) - B

F er ikke den rigtige fysiske flux som i energi pr areal pr sekund, men 
F er proportional med den rigtige flux, og det er det eneste vi har brug 
for, så derfor vælger jeg at blive ved med at kalde den for fluxen.

Husk: K en faktor, som vi ikke kender, men som vi ved er den samme for 
alle stjerner. B er summen af baggrundsværdierne i tællingen, som vi 
heller ikke kender, men som vi også ved er den samme for alle stjerner.


Hvis vi skal måle en stjerne på et billede er den eneste måde vi kan 
gøre det på, at lægge alle pixelværdier inden for det lille område 
sammen. Den værdi kalder vi for C (for count).

Sammenhængen mellem fluxen F og C er at C er summen af flux og 
baggrundsfotoner fra billedet:

(2) C = F + B som er ensbetydende med at F = C - B

Hvis vi kombinerer (1) og (2) kan vi se at:

(3) C = K*exp(-M)

Så langt så godt!

Nu er vi klar til at bruge et smart trick:

Hvis vi nu måler en kendt stjerne med magnituden T (for tabelværdi) med 
denne teknik, så ved vi at det må gælde at

(4) K*exp(-T) = K*exp(-M) - B eller rettere
     K*exp(-T) = C - B

Det betyder også at:

(5) exp(-T) = (C - B ) / K eller
     exp(-T) = C/K - B/K eller

fordi vi kan justere K og B så det passer.

Hvis vi nu har mange tabelværdier (T1, T2, T3 ... Tn) og mange 
tilhørende tællinger på billedet (C1, C2, C3 ... Cn), så kan vi for den 
i'te tabelværdi/tælling skrive:

(6) exp(-Ti) = Ci/K - B/K

Hvis man laver et koordinatsystem med C på X-aksen, og exp(-Ti) på 
Y-aksen, så vil en tælling Ci og exp(-Ti) (eksponentialfunctionen taget 
på minus den tilhørende tabelværdi Ti) selvfølgelig kunne plottes som et 
punkt i dette koordinatsystem.

Der er en lineær sammenhæng mellem exp(-Ti) og C. Det betyder at hvis 
man plotter alle de kendte stjerner i dette koordinatsystem, så vil 
prikkerne ligge på en (næsten) ret linie. En ret linie i et XY 
koordinatsystem er givet ved

(7) Y = a*X + b

Nu er det så smart, at der findes en matematisk funktion som hedder 
lineær regression, som kan tage en masse X'er og tilhørende Y'er og 
finde et a og et b i denne ligning, som angiver den bedste rette linie 
igennem alle punkterne.
Se Wikipedia: http://da.wikipedia.org/wiki/Regressionsanalyse den 
engelske er dog bedre efter min mening:
http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_linear_regression her hedder a og b 
bare alfa og beta.

Lineær regression er i øvrigt standardfunktioner i regnearksprogrammer 
som Libre Office Calc og MS Excel.

Nå - Denne lineære regression kaster vi efter vores målinger og 
tabelværdier, hvor vi kalder X'erne og Y'erne (for den i'te måling):

(8) Xi = Ci og
     Yi = exp(-Ti)

Læg mærke til at K og B automatisk bliver regnet ind i a og b, da de jo 
altid er ens for alle stjerner, dvs vi behøver aldrig (før eller siden) 
at bekymre os særlig meget om dem.

Altså: Alle tabelværdier regnes om til exp(-T) (Y) og alle tilhørende 
optællinger af opsummerede pixelværdier i samme størrelse vindue for C (X)

Så propper vi hele molevitten ind i en lineær regression.

Det vil sige at vi nu næsten har vores lineal klar i form af a og b, som 
vi får tilbage fra regressionsfunktionen:

Hvis vi har en stjerne, hvor vi tæller C pixelværdier i det lille 
målevindue, så kan vi MEGET nemt regne magnituden ud fordi:

(9) exp(-M) = a*C + b fra (5), hvilket betyder at
     -M = ln(a*C + b) og dermed at
     M = - ln(a*C + b)
     ================

Slut prut finale! Thats it!

Her er ln() selvfølgelig den naturlige logaritme - den omvendte til 
eksponentialfunktionen exp()

Man skal selvfølgelig være omhyggelig med at sit data. For eksempel kan 
det som du selv er inde på selvfølgelig ikke nytte at tælle pixelværdier 
på stjerner der "kridter". Det betyder jo netop at nogle af værdierne er 
klippet af ved en eller anden max-værdi. Man kan heller ikke bruge 
metoden på billeder, hvor der er justeret på lysstyrke eller kontrast 
med nogen som helst form for ikke-lineær lysstyrke- eller 
kontrastfunktion. Det betyder at man vil bruge en ret lineal på en buet 
linie, og det kan kun gå ilde.

Hvordan kan det være at vi kan glemme alt om K og B i ligningerne?
B er et udtryk for alt hvad der kan tilføje et konstant bidrag til vores 
tællinger. For eksempel lysforurening, himmelbaggrunden, bias i 
fortolkningen af værdierne fra CCD-chippen osv.
K er et udtryk for alt hvad der har noget med hvor effektivt vores 
instrument er til at samle fotoner fra stjernerne. For eksempel 
teleskopets åbning, optikkens effektivitet, CCD'ens kvanteeffektivitet, 
forstærkerens gain, himlens transparens osv.
Fidusen er at alle målinger og fastlæggelse af skala ("linealen" eller a 
og b i ligningerne herover) foretages på et og samme billede. Det vil 
sige at K og B (eller a og b) er ens for ALLE stjerner. Dette er 
selvfølgelig ideelt set, men meget tæt på at passe i virkeligheden.

Jeg håber at jeg fik vendt alle fortegn rigtigt...

Mange hilsener

- Frank

Other related posts: