[UntirtaNet] Tentang Fraktal

Tentang Fraktal

HAMPIR semua topik matematika yang dipelajari di SMU saat ini merupakan
warisan zaman kuno. Bangun geometri seperti garis, lingkaran, dan segitiga
misalnya, telah diteliti dan dipelajari abad 300 SM oleh Euclid. Demikian
juga kita tahu kapan periode Phytagoras, Archimides, Des Cartes dan yang
lainnya peletak dasar teori-teori matematika. Dibandingkan dengan
"saudaranya" yang lain, fraktal merupakan disiplin yang relatif baru di
dunia matematika. Riset dan publikasi yang serius mengenai fenomena fraktal
baru dimulai tahun 1918 oleh matematikawan Perancis, Gaston Julia. Dalam
perkembangannya yang relatif baru, fraktal telah digunakan pada
bidang-bidang yang bahkan tidak terduga sama sekali.

Apakah fraktal?

Perhatikan gambar 1. Gambar apakah ini? Apakah pohon, dahan, atau daun?
Termasuk bangun apakah gambar ini, mungkinkah segitiga, bujur sangkar,
lingkaran atau bola? Berapa dimensinya, bagaimana menghitungnya? Lihatlah
bangun alami sekeliling kita dan bisakah anda menjawab pertanyaan-pertanyaan
yang sama untuk bangun alam yang Anda temukan?

Cobalah kita pandang dari jarak yang cukup jauh sebuah bola atau kotak
kubus. Kemudian kita dekati kedua bangun tersebut, tentu kita tidak akan
merasakan adanya perubahan bentuk dari keduanya. Bentuk bola tetap bulat
dari mana pun kita memandang, kubus akan tetap berbentuk kotak. Tetapi, coba
kita pandang gunung dari kejauhan. Untuk menyederhanakan (seperti sewaktu
kita kanak-kanak), gunung dari kejauhan terlihat berbentuk segitiga. Namun,
semakin kita mendekati gunung, semakin tidak terlihat adanya bangun
segitiga. Demikian juga, misalnya, garis pantai, awan/mendung. Awan tidaklah
lonjong, garis pantai tidak lurus. Untuk benda-benda alam ini, kita tidak
dapat menggolongkannya ke dalam bangun Euclidian yang biasa dan telah lama
kita pelajari.

Gunung, awan, sesar pulau, lekuk sungai, dan benda-benda alam lainnya oleh
para ahli matematika digolongkan ke dalam bangun yang disebut fraktal.
Fraktal, dari kata bahasa Latin fractus yang artinya patahan, menurut
matematika didefinisikan sebagai sebagai bangun dengan dimensi bukan
bilangan bulat. Bukan bilangan bulat? Ya, penjelasan matematisnya di uraian
berikut.

Perjalanan fraktal

Karakteristik utama fraktal selain dimensi adalah: self-similarity
(kemiripan terhadap dirinya), pengulangan dan penskalaan. Perhatikan pohon
cemara, dahan dari pohon cemara merupakan kemiripan bentuk dari pohon cemara
secara keseluruhan dengan ukuran/skala yang lebih kecil. Dengan tingkatan
yang berbeda, jika kita mengamati peta garis pantai, kita juga akan
mendapatkan pengulangan/kesamaan bentuk dengan men-zoom bagian tertentu.
Dari pengamatan, tepatnya usaha pengukurun, panjang garis pantai peta
Inggris Raya pulalah pertanyaan dan penelitian tentang fraktal pertama kali
muncul. Waktu itu-jauh sebelum komputer ditemukan pertengahan abad
ke-20-semakin di-zoom peta garis pantai, semakin panjang ukuran yang
didapatkan, karena didapatkan lekukan-lekukan baru di dalam lekukan yang
di-zoom.

Ketertarikan dan rasa penasaran para ahli terhadap fraktal kembali
muncul-sekali lagi sebelum ditemukan mesin komputer yang sangat membantu
visualisasinya, waktu itu tahun 1918-ketika Gaston Julia, seorang
matematikawan Perancis, menemukan pola fraktal dari manipulasi persamaan
zn+1 = zn 2 + c. Z adalah bilangan kompleks, sedang c adalah suatu konstanta
kompleks. Komponen bilangan kompleks z = x + i*y, x riil dan y imajiner,
dipetakan langsung ke sumbu Euclidian x dan y. Dengan melakukan pengulangan
terus-menerus terhadap persamaan ini sampai batas pengulangan tertentu,
untuk tiap titik Zn awal diperoleh dua jenis karakteristik posisi yaitu
titik-titik yang selalu tetap pada batas tertentu dan titik-titik yang
cenderung menjauh dan tak terbatas. Titik-titik yang berada dalam batas
tertentu ini disebut titik tertahan, sedangkan titik yang menjauh disebut
titik terlempar. Pada bidang gambar x-y, jika dari titik awal z diperoleh
titik terlempar, maka banyaknya pengulangan digunakan sebagai warna titik
asal tersebut. Sebaliknya jika dari titik awal x-y diperoleh titik tertahan,
pada titik tersebut diwarnai dengan warna hitam. Dari proses tersebut
ternyata diperoleh bangun fraktal!

Bentuk-bentuk fraktal dari iterasi fungsi matematika semakin menarik, indah,
dan bervariasi setelah ditemukan mesin komputer yang sangat membantu
komputasi (perhitungan). Selain membantu komputasinya, mesin komputer dengan
perkembangan teknologi tampilannya, membantu penampilan bangun fraktal
menjadi menakjubkan. Pemanfaatan komputer untuk membangkitkan fraktal
dimulai oleh Benoit Mandelbrot, seorang karyawan IBM sekitar tahun 1970-an.
Dengan memanfaatkan banyak mesin IBM, Mandelbrot membuat dan menjalankan
algoritma pembangkitan fraktal. Persamaan fraktal yang terkenal dari
Mandelbrot adalah zn = zn-1 2 + c. Dengan cara yang mirip dengan yang
dilakukan Gaston Julia, Mandelbrot membuat fraktal yang sangat dikenal
dengan sebutan Himpunan Mandelbrot (Mandelbrot Set). Di disiplin ilmu
matematika chaos (ketidakteraturan), Mandelbrot disebut sebagai Bapak
Fraktal.

Gambar-gambar berikut adalah beberapa contoh fraktal dari himpunan
Mandelbrot. Perhatikan berturut-turut dari gambar 2. Kotak kecil dalam
gambar itu merupakan fokus bagian yang di-zoom. Hasil zoom gambar 2 adalah
gambar 3. (Ini hanya setitik kekuasaan Tuhan atas ilmu pengetahuan).

Dimensi bukan bilangan
bulat

Kembali ke dimensi bangun fraktal yang bukan bilangan bulat. Sebelum
membahas penjelasan dimensi fraktal, baiknya kita lihat dulu bagaimana
dimensi bangun-bangun Euclidian (titik, garis, bujur sangkar, kubus). Titik
merupakan bangun tak berdimensi alias 0. Garis berdimensi satu. Bujur
sangkar dua, serta kubus tiga. Bagaimana penjelasannya? Titik dimensinya 0
karena kita tidak dapat mengukurnya, tidak mempunyai satuan panjang atau apa
pun. Garis berdimensi satu, karena kita dapat mengukur satuan panjangnya.
Demikian bujur sangkar mempunyai panjang dan lebar, jadi berdimensi dua.
Kubus, selain mempunyai panjang dan lebar juga tinggi. Dengan demikian
dimensi kubus tiga. Baik, tetapi bagaimana penjelasan matematisnya (biasanya
rumus-rumus dan angka-angka).

Sifat kemiripan terhadap diri-sendiri juga dipunyai oleh semua bangun
Euclidian. Perhatikan gambar-gambar berikut dari satu garis, kita dapat
membaginya menjadi N bagian yang masing-masing similar (mirip) dengan garis
asal. Faktor pembaginya adalah r, r = N. Jadi dengan membagi garis menjadi 7
bagian kita akan mendapatkan 7 garis baru yang mirip dengan garis asal
dengan skala 1/7 garis asal tentu saja. Untuk kasus garis terdapat hubungan
N=r1

Sekarang bujur sangkar. Pertama kita dapat membagi bujur sangkar menjadi 4
bagian yang masing-masing mirip (Mengapa bukan 2 misalnya?). Faktor
pembaginya adalah 2. Dengan faktor pembagi 3, kita mendapatkan 9 bujur
sangkar yang mirip. Maka untuk bujur sangkar N = r2.

Bagaimana dengan kubus? Dengan model yang sama kita mendapatkan hubungan N =
r 3. Maka secara umum diperoleh N = r d, dengan d adalah dimensi. Jika kedua
sisi kita log kan, maka:

log (N)=log (r d), selanjutnya log(N)=d log(r) dan d=log(N)/ log (r).


Kemiripan terhadap garis, kubus, dan bujur sangkar

Rumus yang sama untuk mendapatkan dimensi tersebut, kita terapkan pada
fraktal. Gambar-gambar di bawah ini adalah beberapa fraktal yang mudah
dihitung dimensinya. Gambar pertama adalah kurva Koch. Untuk pengulangan
pertama, N = 4 dan r = 3. Pengulangan kedua N = 16 = 42 dan
r = 9 = 32. Dimensi fraktal ini adalah d = log(4)/log(3)=log (42)/log(32).
Jika dihitung pasti hasilnya bukan bilangan bulat.

Kurva Koch

Gambar berikutnya adalah fraktal yang terkenal juga, disebut dengan Segitiga
Sierpinski. Untuk setiap pengulangan N = 3i dan r = 2i dengan i adalah
bilangan bulat lebih dari 0. Dengan demikian dimensi Kurva Sierpinski, d =
log (3)/log(2).

Segitiga Sierpinski

Aplikasi fraktal

Tanpa bangun berbentuk bulat, kita tidak akan dapat menikmati indahnya
permainan sepak bola. Tanpa bangun lingkaran, tentu kita tidak akan dapat
tidur nyenyak di kereta api. Demikian juga, hidup kita tidak nyaman tanpa
bangun-bangun berdimensi dua. Lalu untuk apa sebenarnya kita mempelajari
bangun fraktal? Seperti telah disebutkan di awal tulisan, para ahli
menggunakan bangun fraktal untuk menganalisis berbagai anatomi bangun di
alam. Mulai dari gunung, sesar, garis pantai, sayuran, pohon bahkan DNA
sekalipun. Perhatikanlah, semuanya dalam kadar tertentu mempunyai sifat
kemiripan terhadap diri, pengulangan bentuk, dan penskalaan.

Dalam aplikasi nyatanya fraktal digunakan untuk berbagai keperluan. Karena
gambarnya yang indah dan menakjubkan bangun fraktal banyak digunakan untuk
animasi. Sudah sangat terkenal di dunia geologi Indonesia, Dr Sigit
Sukmono-pakar geologi ITB- menggunakan pola fraktal di berbagai sesar
Sumatera dan pulau yang lain untuk menganalisis dan memprediksi frekuensi
gempa bumi. Prof MT Zen, juga dari ITB, pernah melakukan penelitian terdapat
hubungan yang cukup signifikan antara dimensi bangun fraktal aliran Sungai
Kali Oyo dengan struktur batuan yang membentuknya. Sungai Kali Oyo ini
melintas di Jawa Tengah-Yogyakarta. Di bidang pengolahan citra (image), pola
fraktal digunakan salah satunya untuk melakukan kompresi citra. Kompresi
citra adalah usaha untuk memperkecil ukuran file suatu citra dengan
semaksimal mungkin tanpa mengurangi kualitas citranya.

Di bidang audio pun bangun fraktal dimanfaatkan. Jika kita perhatikan pola
frekuensi dalam format digital, akan terlihat pola fraktal. Tahun 1994
Nathan Cohen, mempublikasikan penemuannya berupa antena radio fraktal.
Antena ini mempunyai daya tangkap yang sangat bagus untuk multiband maupun
broadband (lihat www.fractenna.com). Lalu lihatlah pola pergerakan harga
saham, pergerakan nilai mata uang. Bahkan di situs http://
www.pricepatternprediction. com kita dapat memperoleh prediksi perilaku
pasar di berbagai bursa efek dunia untuk waktu yang akan datang. Prediksi
ini dibuat dengan menggunakan pendekatan pola fraktal.

Aplikasi lain yang mungkin mengejutkan adalah fraktal untuk (komposisi)
musik. Ya, ternyata dari bangun fraktal (entah Mandelbrot, Julia, Dragon
atau yang lainnya) dapat diperoleh alunan musik yang merdu. Bagaimana
caranya? Salah satunya adalah dengan mengasosiasikan tiap warna pada bangun
fraktal (misalnya Mandelbrot di atas) dengan not tertentu. Maka secara
teoretis akan didapatkan alunan musik yang tanpa batas, karena sebenarnya
pola fraktal tak terbatas. Semakin kita lihat detailnya semakin kita temukan
detail yang baru. Anda ingin menikmati alunan musik ini? Cobalah mengunjungi
situs http://members.aol.com/ dshp3/html/tonality_1.htm. Di situs ini selain
dapat didengarkan alunan musik fraktal, juga dapat ditemukan notasi musik
hasil konversi dari bangun fraktal.

Mujiono, Alumnus Informatika ITB peminat fraktal.


===============================================================
(C)opyright 1999-2002 UntirtaNet
Milis ini dikelola oleh alumni Universitas Tirtayasa Banten - Indonesia 
dan terbuka untuk semua Civitas Academica Universitas Tirtayasa Banten 
Untuk berlangganan, kirim email ke: untirtanet@xxxxxxxxxxxxx, dengan  
Subject 'Subscribe' atau lansung ke  http://www.freelists.org/cgi-bin/list?
list_id=untirtanet Untuk kirim pesan: untirtanet@xxxxxxxxxxxxx
Please visit our Homepage: http://www.untirtanet.org
---------------------------------------------------------------------------

Other related posts: